Fraktálok

 "A leghasználhatóbb fraktálokban szerephez jut a véletlen,
 mind  szabályosságaik, mind szabálytalanságaik statisztikus jellegűek."

                                                (Benoit B. Mandelbrot: A természet fraktálgeometriája)

Bevezetés

             Egyszer, a 70-es évek végén egy cikk jelent meg  a Menger szivacsról, a különleges és érthetetlen 2.7268-as dimenzió-számáról, mely újszerűségével, érdekességével és egyben szokatlan voltával keltette fel a figyelmet.

(A háromdimenziós kép egérrel mozgatható)

 Azóta élet minden területén lehet hallani e témával kapcsolatban.  A Mandelbrot-halmaz színes és gyönyörű képei, a gyerekek számára is élménydús látványt nyújtanak. Érdemes tehát tanítványainknak megmutatni, és a programozás oktatásánál a feladatok közé is beilleszteni néhányat közülük. A tanulók szívesen fogadják, és az ezekhez kapcsolódó feladványokat nagy lelkesedéssel oldják meg. Az interneten rengeteg cikket és fraktálkészítő programot lehet találni, amit szintén érdemes kipróbálni. Az oldalak a fraktálok szerteágazó fajtáival, azok egyszerű és bonyolultabb előállítási módjaival foglalkoznak. Az egyszerűbb programok szakkörön vagy fakultációs órákon feldolgozható szintet képviselnek.

H-O. Peitgen szavai szerint : "A fraktál-geometria nem csupán a természeti formák bonyolultságának leírására használható, hanem várva várt lehetőséget kínál a matematikatanítás új életre keltésére is. A fraktál-geometria elvei szemmel láthatóak és belső szemléletünkből eredőek. Az említett alakzatok tetszetősek, és sokféle alkalmazási lehetőségük van.  A fraktál-geometria így segíthet eloszlatni azt a felfogást, hogy a matematika száraz és megközelíthetetlen, s arra ösztönözheti a diákokat, hogy megtudjanak valamit erről a rejtélyes és izgató világról."

Dimenzió

             A fraktálok egyik fontos és nem szokványos közös tulajdonsága, amire a nevük is utal /tört/, hogy dimenziójuk nem egész szám. Mit is jelent a tört dimenzió fogalma? Egyszerű magyarázat a hasonlóságnál is adott. Ha egy alakzatot nagyítunk, akkor a megfelelő tulajdonságok a nagyítás mértékének és a tulajdonság dimenziójának ismeretében kiszámolhatók. Pl.: ha a nagyítás mértéke 3, akkor a kerület /1 dim./ 3 szorosa lesz, a terület vagy felszín /2 dim./ 3² szorosa lesz, a térfogat /3 dim./ 3³ szorosa lesz az eredetinek.

             A fraktáloknál nem hasonlóságot, hanem lefedést alkalmazunk :

Egy fraktál dimenzióját az lnN(c)/ln(1/c) tört adja meg, ahol N(c) azon c (oldal) hosszúságú alakzatok száma, melyek az eredeti forma lefedéséhez szükségesek. Amennyiben az oldalhosszúságot egyre kisebbre választjuk, a tört függetlenné válik c-től és megadja a rendszer d fraktáldimenzióját. Pl. a Koch görbe fraktáldimenziója d=lnN(c)/ln(1/c) ~ 1.2618, ahol N(c)=4, c=1/3.

Egy alakzat fraktáldimenzióját úgy is megkaphatjuk, hogy meghatározzuk azon ismétlődő alapegységek átlagos számát ( N ), melyek az alakzat valamelyik pontja körüli r  sugarú körben találhatók. Az euklideszi geometria szerint az alapegységek száma egy C állandónak és a sugár D -edik hatványának a hányadosával egyenlő, ahol D  az alakzat dimenziójának értéke. 

( N = C / r^D ). Ebből C=1 esetén, N=1/r^D  amiből az előző képlet levezethető    d=ln(n)/ln(1/r).

Néhány Koch-görbe dimenziója:

            ismétlődő szakasz

             N=4, r=1/3, D=log(4)/log(3)=1.26..

            N=8, r=1/4, D=log(8)/log(4)=1.5

             N=9, r=1/3, D=log(9)/log(3)=2

Egyszerű vonalas fraktálok

             Az előző részben már megemlítettünk példaként néhány Koch-görbét. Most nézzük részletesebben a görbéket, ezek algoritmusait, és számítógépes megvalósításuk lehetséges módjait.

             Koch-görbe       

             Háromszöges változat                       

            Vegyünk egy szakaszt, harmadoljuk meg, és a középső harmad helyett rajzoljunk egyenlő oldalú háromszöget. Az így kapott alakzat négy szakaszára ismételjük meg az eljárást tetszőleges mélységig.

             Négyszöges változat   

            Vegyünk egy szakaszt és osszuk négy részre, a második negyed helyett balra fölé rajzoljunk negyednyi négyzetet, a harmadik harmad helyett jobbra alá rajzoljunk negyednyi négyzetet.

Az így kapott nyolc új szakaszra tetszőleges mélységig megismételhetjük az eljárást.

             Sierpinszky  háromszög   

(A háromdimenziós kép egérrel mozgatható)

            Vegyünk egy egyenlő oldalú háromszöget, rajzoljuk bele a középvonalait. Az így kapott négy háromszög közül a középső kivételével /tehát mindig csak a csúcsokban keletkezettekre/ tetszőleges mélységig megismételhetjük az eljárást.

Megismerkedünk még néhány nevezetes fraktálgörbével mint: a Hilbert görbe, a Dragon görbe, vagy Bush  'fenyőfája', de ezek szöveges algoritmusait körülményességük miatt nem írjuk le.

A fenti három algoritmusból is látszik a fraktál önhasonlósága, mely B. Mandelbrot meghatározásában is első helyen szerepel. A fraktál tehát nemcsak egy képlet, hanem egy jól meghatározott algoritmus egysége, mely valamilyen technikai eszközzel végrehajtva látványos, csodálatos alakzatok formájában realizálódik. Ezek a képek, és a megvalósításukhoz szükséges egyszerű, szerteágazó, az algoritmusfajták több területét átfogó programok a tanulók érdeklődését hamar felkeltik.

Ezeknek a feladatoknak a számos megoldási lehetősége és ezen belül a legoptimálisabb lehetőségek felismerése, azok kidolgozása nagyban fejleszti a tanulók algoritmikus gondolkodását, programozási technikáját.  Mint látni fogjuk, a programozási módszerek számos területét felölelő megoldásokkal találkozhatnak, iteráció, rekurzió, adatszerkezeten belül verem, sor ,fa.

Pl. a Hilbert-görbe egy  egyszerű rekurzív programja sok programozási alapismeretet tartalmaz, megismerkedhetünk a rekurzió alapjaival, formai egyszerűségével, a  paraméterátadással.

Mind a rekurzió mind a verem használata  /a verem nem biztos pl. Bush/ elkerülhető egy harmadik módszer alkalmazása esetén. Ez a módszer az iterációt string  kezelésével hajtja végre. A módszert Aristid Lindenmayer, dán biológus és matematikus alkotta meg 1968-ban és ezért L-szisztémának szokták nevezni.  Az iteráció végén a stringet grafikus képpé alakítja.  Persze lehetne  az iteráció utolsó lépésénél is rajzolni, de ez vagy sok feltételes utasítást vagy kis szerkezeti  változtatást igényel.

A stringfűző módszer vagy L -módszer egy kiinduló stringből /alap axiómából/ és a hozzárendelési szabályokból áll, ami azt mondja meg, hogy melyik karakternek milyen karakter vagy karakter-sorozat lesz a megfelelője egy iterációs lépés során. Végül egy karakter grafikus megfeleltetéséből áll, mellyel a stringből létrehozhatjuk a fraktálképet. Ezzel a módszerrel vermelés nélkül is megoldható a Sierpinszky  háromszög elkészítése, mivel az egész fraktált a toll felemelése nélkül, egy vonallal rajzolja meg. A verem kezelése helyett a tanulóknak most az egyszerű sor kezelését kell megismerniük ahhoz, hogy a string iterációs lépéseit elvégezzék.

Random fraktálok

            Ebben a fejezetben a random-fraktálok két egyszerű példáját mutatjuk be. Ezeknek a fraktáloknak van egy közös vonásuk, hogy bizonyos tulajdonságuk nem egy előre meghatározott érték, hanem annak értékét a véletlen befolyásolja vagy határozza meg.

            Kezdjük egy egyszerű példával: vegyünk fel egy szakaszt  és határozzuk meg felezési pontjának koordinátáit, majd toljuk el ezt véletlen szám értékének megfelelően felfelé, vagy ha negatív, akkor lefelé. Az így kapott pont és a két kezdőpont újabb két szakaszt határoz meg, melyekre az eljárást tetszőleges sokszor megismételhetjük. Ez az eljárás egy olyan fraktált hoz létre, mely hasonlít egy hegyláncolat keresztmetszetéhez vagy egy összetett zenei hang frekvenciaképéhez, amit egy oszcilloszkóp képernyőjén figyelhetünk meg. Térbeli hegységet szemléltető fraktált ebből az eljárásból két módon alakíthatunk ki. Az egyik, amikor több, egymás felett párhuzamos, egyforma hosszú szakaszból indulunk ki. A szakaszokat lépcsőzetesen eltoljuk egységesen kicsit jobbra vagy balra. Így kiinduló ábraként egy sík axonometrikus, egyirányú hálós képét kapjuk. Ha ezen a szakaszok mindegyikére elvégezzük a fenti eljárást egy adott értékig, akkor már egy domborzati felszínt láthatunk. Ezt lehet fejleszteni úgy, hogy láthatóság szerint húzzuk meg a szakaszokat. Kis hibája, hogy az egyik különálló vonalra végzett iteráció során kapott görbe értéke nem befolyásolja a mellette lévő vonal képének szabálytalanságát. A másik módszernél, mely szintén fraktális tájképet eredményez, induljunk ki  egy tetszőleges síkbeli háromszögből. A háromszöget az oldalfelező-pontok  összekötésével négy kisebb háromszögre bontjuk fel úgy, hogy előtte mindegyik felezőpontot véletlenszerűen a háromszög síkja fölé vagy alá visszük. Ugyanígy járunk el a négy új háromszöggel is, és ezt a folyamatot tetszőleges sokszor megismételjük. Az iterációk során egyre részletdúsabb felület bontakozik ki. Mivel a képernyő síkbeli képet szolgáltat, ezért az egyszerűsítés érdekében nem fontos háromdimenziós koordinátákkal dolgozni és azt axonometrikusan ábrázolni, mivel a függőleges irányú fel ill. lefelé történő eltolás is ezt érzékelteti, s a jobb térlátásúak így is térhatásúnak érzékelik.

A felezőpontok elmozdításának nagyságát megadó véletlenszerű mennyiségek eleget tesznek valamilyen eloszlási törvénynek. Ha egy lankásabb felszínt szeretnénk szimulálni, akkor az iteráció során a véletlen eltolások értékének már néhány iterációs lépés után elég kicsinyekké kell válniuk. Egy durvább hegyvonulat esetén az eltolások mértékét lassabban vagy csak kis mértékben kell csökkentenünk. Ha ezután egy bonyolultabb grafikai program látható felszínnel /háromszögek kiszínezésével/ burkolja be az eltolt pontokat, akkor ez a módszer megdöbbentően valószerű, igazi tájat varázsol a képernyőre. Ezek a nemdeterminisztikus fraktálok, az eloszlásfüggvény jó beállításával akár egy előre meghatározott, modellezni kívánt felület jó megközelítését adják. Gépi megvalósításuk esetén néhány hasonlatosság nagymértékben megkönnyíti a programozó munkáját. Vegyük észre, hogy a háromszögből kiinduló egyszerű, nem három dimenziós koordinátákkal történő számolás esetén a Sierpinszky-háromszög rekurzív programja kis átalakítás után a kívánt programot eredményezi. Egyik ilyen átalakítás, hogy nem csak a csúcsoknál keletkezett háromszögekre folyik tovább az iteráció, hanem a belső középvonalak által határolt háromszögre is. A másik, ami a véletlen eltolást eredményezi, "szemlélteti" , hogy a felezési pontok y koordinátáját meg kell változtatni a véletlen értékével.

Affinitás és fraktál

            Az affinitással a középiskolai matematika-oktatás csak felszínesen foglalkozik, ezért érdemes megnéznünk ennek alapjait.

Az affinitás  egy olyan lineáris geometriai transzformáció /jelen esetben egy síkbeli/, amit a sík három-három  megfelelő pontpárja egyértelműen meghatároz. Analitikus úton egy A(2 x 2)-es mátrix, a transzformáció mátrixa és egy B(1 x 2)-es eltolás mátrixa /vektor/ határozza meg. Egy új pont koordinátáját a következő mátrixművelettel írhatjuk le:

                         (x',y')= A x (x,y) + B.

Amin  az  x'= A(1,1)*x +A(1,2)*y + B(1)  és

                 y'= A(2,1)*x +a(2,2)*y +B(2) műveleteket kell érteni.

Ha nem pont-transzformációként alkalmazzuk, hanem bázisvektorok esetén bázistranszformációként, akkor is ugyanaz az A(2 x 2) -es mátrix írja le a transzformációt, de a művelet és annak jelentése más lesz. Az  A mátrix első sora jelenti azokat az skalárokat, melyek segítségével a régi bázisban az új bázis első vektora kifejezhető. Az  A mátrix második sora pedig a másik új bázisvektor kifejezéséhez szükséges  skalárokat tartalmazza. A két bázis síkbeli helyzetét /eltolását/ a B vektor írja le.

Pl.:jelölje  i és j a két eredeti bázisvektort, és  ui , uj a új bázisvektorokat, majd az új bázisvektorokat az alábbi vektorműveletekkel kiszámolhatjuk :

 ui = A(1,1) * i + A(1,2) * j  , és uj = A(2,1) * i + A(2,2) j.      

Ezek a feladatok első látásra egy középiskolás tanuló számára nehéznek tűnnek, de ha átfogalmazzuk számukra tömbökkel kapcsolatos műveletekre, akkor könnyedén elkészítik azt a programot, mely egy affinitást alkalmaz.

            Miként kapcsolódik az affinitás a fraktálokhoz, hogyan lesz egy síktranszformációból önhasonló alakzat? A kérdésre az algoritmus adja meg a választ :

Vegyünk fel egy 'egyszerű' geometriai alakzatot, és adjunk meg néhány affinitást. Határozzuk meg a geometriai alakzat affin képeit, és az így kapott alakzatoknak külön-külön újból meghatározzuk az összes affin képét. Az eljárást itt is teszőleges iterációs lépésig végezhetjük. Az 'egyszerű' geometriai alakzat azt jelenti, hogy nem a kiinduló ábra fogja meghatározni a végeredményt, a határformát, hanem az affinitások és az iteráció száma. Ezért nem érdemes bonyolult pontalakzatot felvenni. A határforma pedig egy olyan fraktál, ami ugyan elég gyorsan megközelíthető, de sohasem érhető el teljesen.

Egy téglalapból kiindulva - amint láthatjuk - négy affinitással egy páfrány-formát nyerhetünk, melyet Michael F. Barnsley után Barnsley-páfránynak neveztek el.

            Ezek a szabályok egy általános síkbeli affin lineáris transzformációnak a részei, ahol az egyenes vonalak megőrzik egyenes mivoltukat, csak méretüket, helyzetüket és irányukat változtatják meg. Egy ilyen szabályt  n  számú transzformációs függvénnyel teljesen megadhatunk, melyeket az { f₁,f₂, ... f_n} jelöl. Mivel a határkép csak nagyszámú iteráció után lenne szép, ami a jelenlegi számítógépek lehetőségeit meghaladja, ezért egy káoszjáték nevű algoritmus teszi lehetővé, hogy a fraktálunkról egy megfelelően kidolgozott képet kapjunk.

Az algoritmus a sík egy tetszőleges pontjáról indul, majd az { f₁,f₂, ... f_n} közül véletlenszerűen kiválasztunk egy transzformációt, és azt a kiválasztott pontra alkalmazva a síkon újabb pontot kapunk. Egy újabb transzformáció választása után ezt az előbb kapott pontra alkalmazzuk, és így tovább. A módszer javítása egy-egy P_k valószínűségi változó hozzárendelésével történhet olymódon, hogy azokhoz az f_k transzformációkhoz, amelyek legkevésbé csökkentik a kép méreteit, a legnagyobb valószínűséget adják. Ezáltal mindenütt egyforma ütemben töltődik ki a kép.

Mandelbrot-halmaz

              "A Mandelbrot-halmaz, mióta ... feltűnt, új és fényes csillagként emelkedett a népszerű matematika egére. A Mandelbrot-halmaz egyszerre szép és mély; valójában szépsége csak elkendőzi jelentőségét: a felületes szemlélő a szálacskák és kacskaringók miniatűr kavalkádját látja a halmaz határa közelében, és nem is gyanítja, hogy ezekben a mintákban a káosz és a rend különböző, megkapó formái rejlenek ." Így ír A.K. Dewdney  a 'Számítógépes észjáték' című, a Tudomány 1988. januári számában megjelenő sorozatában az eltelt három év sikeréről, melyet a Mandelbrot-halmaz vívott ki magának a tudomány és az egyszerű szemlélő körében.

            A Mandelbrot-halmaz a komplex számsíkon értelmezett iterációs eljárás eredménye és annak grafikus szemléltetése. A komplex számokon értelmezett négyzetes iterációs elmélettel elsőként Gatson Julia francia matematikus foglalkozott 1918-ban. Munkája azonban rövidesen feledésbe merült, éppúgy, mint nagy vetélytársáé Pierre Fatoué is. A komplex számsíkon értelmezett g(z)=z²+ c transzformációval előállított z számokkal foglalkoztak, és azt vizsgálták - még számítógépek nélkül -, hogy mi történik a komplex számokkal, ha a z_k+1 pontot úgy kapjuk meg, hogy a z_k-t behelyettesítjük a képletbe.

             Benoit B. Mandelbrot is ezzel az iterációs képlettel vizsgálta a komplex számsíkot, és az iterációs eredményt színes vagy fekete-fehér grafikán jelenítette meg. Azt vették észre, hogy ha a z komplex szám hossza az iteráció folyamán nem lépi túl a 2-es értéket, akkor e szám a művelet bármely sokszori ismétlése után is a sík e véges tartományában marad. Míg azok a komplex számok, melyek hossza eléri a 2-es küszöbszámot, a további iteráció során igyekeznek a sík végtelen tartománya felé. Az előbbi véges komplex számok tartoznak a Mandelbrot-halmazba, vagyis azok, amelyek elvileg soha sem érik el a bűvös kettes hosszhatárt. Ezek a pontok, mint kiderült, egy furcsa, tekervényes, formailag kiismerhetetlen, de mégis a szabályosság nagyfokú jegyeivel rendelkező, összefüggő halmazt alkotnak. A színezés nem is lenne fontos, de szépen szemlélteti azt az iterációs értéket, melynél a z szám elérte a bűvös 2-es határt. Amelyek az előre meghatározott maximális iterációs lépésnél még e határ alatt voltak, azokat vesszük bele a halmazba, de ez nem jelenti azt, hogy ezek között nincsenek már olyanok, amelyek egy magasabb iterációs végérték esetén nem lépnék át a határt. A színezéstől látványosabb, szebb lesz, és a forma jobb kiemelésével az önhasonlóság jobb felismerését, a gazdag formavilág könnyebb tanulmányozását teszi lehetővé. Az emberi szem és az elme szinte megpihen eme színes kusza világ tanulmányozása közben, mintha nem is az egyszerű egyenes és szabályos vonalak állnának közel hozzá, hanem ez az új és még ismeretlen világ, mely máris sok természetbeli alakzattal, jelenséggel esik egybe, azok formavilágában megtalálható és magyarázható. Lehet, hogy egy új geometriai szemléletmód kezdetén vagyunk, melynek szerves része lehet az az egyszerű geometria, mellyel eddig foglalkoztunk.

            De térjünk vissza a Mandelbrot-halmaz iterációs képletének vizsgálatához, és nézzük, milyen kezdőértékei legyenek az abban szereplő komplex számoknak.

A   z_k+1= z_k² + c iterációs képlet, mivel a z,c komplex szám két képletté bontható. A valós és a komplex részt kiszámító formára. A valós rész a z_{k+1 r}= (z_{k r})²- (z_{k i})² alakkal, míg a komplex  rész a  z_{k+1 i}= 2*( z_{k r} * z_{k i} ) alakkal számolható ki. A kezdőértékek egyik lehetséges választása az, ha a z mindig nulla,  míg a c felveszi a sík aktuális kiindulási értékét.

Egy másik lehetséges kezdőértékre majd a Julia-halmaz meghatározásánál térünk ki.

Mivel az iterációs lépés addig tart, míg a hossz kisebb kettőnél, vagy míg el nem értük a maximálisnak választott iterációs lépést, ezért a c komplex számot az origó középpontú kettő sugarú kör belső értékeivel kell csak indítani. Az így kiválasztott tartományt a képernyőnk felbontásának megfelelő rácsozattal látjuk el, és az iterációt ezekre a rácspontokra eső komplex számokra végezzük el /a c kezdőértékei ezek a számok lesznek/. A kapott kép tetszőleges részletét kinagyíthatjuk, ha arra a komplex síktartományra szintén ráhelyezzük a képernyőnk felbontásának megfelelő rácsot. Vagyis a síkrész valós intervallumát osztjuk a képernyő vízszintes felbontásával, a komplex intervallumot a függőleges felbontásával azért, hogy megkapjuk azt a lépésközt, amivel majd a c értékét növelve a síkrész összes pontjára elvégezhetjük az iterációt. Minél mélyebbre haladunk a Mandelbrot-halmazban, annál szebb és formagazdagabb világ tárul elénk. A mélységnek csak a számítógép számábrázolási pontossága  és az idő szab határt. Mint már említettük, régóta figyeljük a fraktálokkal kapcsolatos cikkeket és programokat. Láttuk azoknak a lelkes kollégáknak a munkáit, akik idejüket nem sajnálva a C64 - es gépeken rajzoltattak Mandelbrot-halmaz részleteket. Egy ilyen számolás, ahol a program BASIC nyelven készült 10 - 16 órát is igényelt. A modern IBM számítógépek egy ilyen alapkép elkészítéséhez 1-2 percet vesznek igénybe, de ha nagyon mélyen benne vagyunk az Mandelbrot-halmazban, és egy részletdúsabb képet akarunk megjeleníteni, akkor a maximális iteráció értékét is növelnünk kell, és így már ezek a gyors gépek is 16 óráig dolgozhatnak.

Julia-halmaz

           Az iterációs szabály  z és c kezdőértékeinek másik megválasztási módja, ahol a c értéke egy rögzített komplex szám, és a z értéke a változó, ami befutja a komplex síkrész bizonyos pontjait, egy másik, úgynevezett Julia-halmazt eredményez.

Bizonyos értelemben a Mandelbrot-halmaz egybefoglalja az összes Julia-halmazt, leírja a komplex o-ból kiinduló iterációk kimenetelét a c minden lehetséges értékére.  A Mandelbrot-halmaz egy hatalmas könyv, melynek minden lapja egy Julia-halmazt képvisel. A c Mandelbrot-halmazbeli helyzetéből meghatározható a hozzátartozó Julia-halmaz alakja, összefüggősége.

A Mandelbrot-halmaz kardioid alakú fő testhez tartozó Julia-halmazok többé kevésbé deformált körök. Egyetlen fixponttal rendelkeznek, melyet egy fraktálisan deformált kör vesz körül.

Ha a c egy szemölcsből való, akkor a Julia-halmaz végtelenül sok fraktálisan deformált kört tartalmaz, amelyek egy periodikus attraktor pontjait veszik körül.

Ha a c csírapontja egy szemölcsnek, akkor a Julia-halmaz határáról kapcsok nyúlnak egészen a fixpontig, annyi fraktális kört hozva létre, ahány pontból áll a periodikus attraktor.

Ha a c bármely más határpontja a kardioidnak vagy egy szemölcsnek, akkor egy úgynevezett Siegel-gyűrűt kapunk.

Ha a c-t nem a Mandelbrot-halmaz területéről választjuk, akkor pl.

            - ha c=i, akkor a Julia-halmaz nem fog területet bezárni, az attraktor a végtelen,

            - ugyanígy, ha egy Mandelbrot-halmaz határpontot sikerül kiválasztani, a Julia-halmaz ágszerű lesz,

            - ha a Mandelbrot-halmazon kívül vesszük fel a c -t, akkor megszámlálhatatlanul sok nem összefüggő alakot kapunk.

            Minél jobban eltávolodunk c kiválasztásakor a valós tengely mentén a nullától, annál "laposabbá" válnak a megfelelő Julia-halmazok. Ha a képzetes rész nulla, akkor a halmazok függőleges helyzetűek. Ugyanakkor, ha c kiválasztásakor a képzetes tengely irányában távolodunk a nullától, akkor a Julia-halmazok "eldőlnek" jobbra vagy balra.

Biomorfok

             Felvetődik az a kérdés, hogy a komplex számokon végzett műveletek miért éppen négyzetes formájúak. Csak ezek adnak ilyen szép formákat? Vagy lehet más műveletekkel is próbálkozni?

Ezekre a kérdésekre a Tudomány 1989. szeptemberi számában kielégítő választ találhatunk. Különböző komplex számokon értelmezett iterációs képleteket  és ezek grafikáit is láthatjuk.

Magasabb fokú komplex polinomoktól kezdve trigonometrikus  és exponenciális formákig terjed a választék skálája.

Ezeknek a képleteknek a végeredményei hasonlítanak a mikrobákhoz, furcsa, kis állatkáknak tűnnek, és ezeket nevezzük biomorfoknak.

Speciális biomorfok
 

f₀(z) = sin(z) + e^z_re [cos(z_re) + iˇsin(z_im)]

f₁(z) = z^N

f₂(z) = z^N + z^M

f₃(z) = z^z

f₄(z) = z^z + z^N

f₅(z) = sin(z)

f₆(z) = sin(z) + z^N

f₇(z) = sin(z) + e^z

f₈(z) = sin(z) + B^z

f₉(z) = sin(z) + z^z

f₁₀(z) = tan(z) + z^N

f₁₁(z) = log(z) + z^N

A programozás ezeknél a műveleteknél már sokkal körülményesebb mint a négyzetes formáknál. Ha a komplex számok trigonometrikus alakját vesszük elő, akkor a hatványozás könnyebben megvalósítható.

Fraktálnövekedés

             Benoit B. Mandelbrot mutatott rá arra, hogy a természet számos "rendezetlen" alakzata fraktál tulajdonságokkal rendelkezik. Egyre több bizonyíték van arra, hogy a természet erősen vonzódik a fraktálokhoz. Átszűrődési fürtöknek nevezett fraktálokat ismertek fel a szilárd szemcsézetű anyagokban átáramló folyadékok mintázatában. A korom és egyes polimerek szintén fraktálok. Ugyancsak fraktálok jelennek meg légbuborékok olajban történő mozgásakor, bizonyos kristályok növekedésekor, vagy a villámcsapásokra emlékeztető elektromos kisülésekben. A felhők szabálytalan mintázata és a tengerpartok csipkézettsége is fraktál. Az élővilág számos területén is megtalálható a fraktál kuszasága: fák ágazata, test artériái, bélbolyhok, páfrány levele és ehhez hasonló növények  stb.

            A természeti fraktálok kialakulásának kérdésére kialakítottak egy folyamatot, melyet diffúzió által szabályozott felhalmozódásnak ( DLA ) -nak neveztek el.

A modell szerint egy bizonyos rendszertelen és megfordíthatatlan növekedési folyamat egy különleges fraktáltípust eredményez. A  DLA folyamat szimulálása számítógépen könnyen megvalósítható.

Induljunk ki egy rögzített pontból /térben vagy síkban/, és sorra egymás után indítsunk útjára több ezer "részecskét" , s hagyjuk, hogy a rögzített pont felé vándoroljanak /bolyongás/.

Ha a részecske a rögzített ponttal vagy a már hozzáragadt részecskével ütközik, akkor összeragadnak, és egy fürtöt hoznak létre, amely azután folyamatosan növekszik. A fürtök növekedésének egyre nagyobb lesz a sebessége, mivel az új részecskék nagyobb valószínűséggel akadnak bele egy kiálló fürtbe, mint a belső pont közelében lévő lyuk részecskéjébe.

E fejezet elején felsorolt számos fraktál közül van, amelyik DLA folyamattal növekszik.

A káosz

             Néha a determinisztikus rendszerek viselkedése is véletlenszerűvé válhat. A véletlenszerű viselkedést több adat gyűjtésével nem lehet megszüntetni. Az így létrejövő véletlen viselkedésre vezették be a káosz elnevezést. A determinisztikus káosz látszólagos ellentmondás, hiszen azt jelenti, hogy olyan rögzített szabályok hozzák létre, melyekben semmilyen véletlen elem nem lehet. Elvben a múlt meghatározza a jövőt, de a gyakorlatban a kis bizonytalanságok felerősödnek. Így a hosszú távú előrejelzés lehetetlen. A káoszban a kaotikus viselkedés mögött elegáns geometriai alakzatok rejtőznek, melyek meghatározzák a véletlenszerű viselkedést. A káosz felfedezése új példa a tudományos modellalkotás számára. Ez egyrészt új, alapvető korlátokat jelent a jelenségek megjósolhatósága szempontjából, másrészt a káosz mögötti determinisztikus viselkedés alapján sok véletlenszerű jelenséget pontosabban lehet jelezni, mint ahogyan azt korábban gondolták. A jelenségek változását az állapottérben egy alacsonyabb dimenziós tartomány határozza meg. Ez a tartomány vonzza magához a jelenséget, és ez az, ami hosszú idejű viselkedését  meghatározza. Minden ilyen tartományt attraktornak nevezünk. Ez az attraktor tehát egy geometriai alakzat. Ha ezt az attraktort megtaláljuk, és "jól" meghatározzuk, akkor pontosan tudjuk a jelenség jövőbeli kimenetelét. Az egyszerű attraktorok a pont, a határciklus és a tórusz. Tehát az ilyen attraktorokkal rendelkező jelenségek kimenetele megjósolható.

 Ha ezt a "jól" meghatározást nem tudjuk elvégezni, mert az attraktor nem  egy sima felület, hanem fraktálszerű alakzat, ami annál bonyolultabb, minél részletesebben vizsgáljuk /nagyítjuk/, akkor a jelenség kimenetele megjósolhatatlan.

Kezdetben csak jósolható, egyszerű attraktorokat ismertek, de 1963-ban Edward N. Lorenz felfedezte  az első bonyolultabb formájú attraktort, amit más, hasonló típusú attraktorokkal együtt kaotikus vagy különös attraktoroknak nevezünk. Mint említettem, az ilyen típusú attraktorok fraktáljellegűek. Ezért mondhatjuk azt, hogy a farktál a káosz geometriája.

                                                                                                                                                                      (Méri Károly)

 Irodalomjegyzék

[ 1. ]  Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe : The Science of Fractal Images Springer-Verlag, 1988.

[ 2. ] Benoit B. Mandelbrot: Fractals form, chance, and dimension W.H.Freeman and Company 1982.

[ 3. ]  Angyal Zsolt, Zsoldos Zsolt : Chaos hyper set TDK dolgozat Budapest, 1990.

[ 4. ]  A.K.Dewdney :  A számítógép mint mikroszkóp behatol a matematika legbonyolultabb területeire Tudomány 1985. február 8. o.

[ 5. ]  A.K.Dewdney :  Tapéták az agy számára: majdnem, de nem teljesen ismétlődő számítógépes képek Tudomány 1986. november 8. o.

[ 6. ]  A.K.Dewdney : Fraktálhegyekről, graftálfákról, valamint a Pixar cég egyéb számítógépes grafikáiról Tudomány    1987. február 8. o.

[ 7. ]  Leonard M Sander: Fraktálnövekedés  Tudomány 1987. március 54. o.

[ 8. ]  Egyed László :  Szabályszerűség és változatosság Tudomány 1987. április 41. o.

[ 9. ]  A.K.Dewdney:  Szépség és mélység: Mandelbrot-halmaz, valamint Julia nevű rokonainak serege Tudomány 1988. január 6. o.

[ 10. ]  A.K.Dewdney : Fraktálhalmaz véletlen bolyongásból

                     Tudomány 1989. február 6. o.

[ 11. ]  A.K.Dewdney : Mandelbuszos körutazás a Mandelbrot-halmaz belsejében Tudomány 1989. április 6. o.

[ 12. ]  A.K.Dewdney: A mai fogás: biomorfok Truchet-parkettán, pattogatott kukoricával és csigával Tudomány 1989. szeptember 6. o.

 [ 13. ]  A.K.Dewdney : Hogyan változtassuk a képzelet csapongását fraktálflórává és faunává? Tudomány 1990.július 4.o.

[ 14. ]  H. Jürgens, H-O. Peitgen, D. Saupe  A fraktálok nyelve Tudomány 1990. október 38. o.

[ 15. ]  Benoit B. Mandelbrot : Fractals - a geometry of nature New Scientist 1990. szeptember 38. o.

[ 16.] The Biomorph Fractal : www.angelfire.com/linux/csoroz/biomorph/index.html

[ 17.] ChaosPro: www.chaospro.de/index.php

[ 18.]  Fractals: www.bugman123.com/Fractals/Fractals.html

[ 19.]  Galeria de Fractais: www.insite.com.br/fractarte/galeria2/galeria.php

[ 20.]  Ultra Fractal: http://www.ultrafractal.com/features.html

[ 21.]  Martin Kraus: LiveGraphics3D: http://wwwvis.informatik.uni-stuttgart.de/~kraus/index.html

[ 22. ] Deviantart: http://browse.deviantart.com/digitalart/fractals/